Question

求过三点A(1，12)、B(7，10)、C(-9，2)的圆的方程，并求出圆的圆心与半径，作出图形.

Answer 1

【探究】 本题主要考查利用圆的一般方程求圆的方程，可用待定系数法加以求解.基本步骤为:(1)根据题意，设所求的圆的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0；(2)根据已知条件，建立关于D、E、F的方程组；(3)解方程组，求出D、E、F的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.不过有时利用圆的几何性质解题，会有更简捷的解题途径.

解：设所求的圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，依题意有

解得D=-2，E=-4，F=-95，于是所求圆的方程为x²+y²-2x-4y-95=0.

将上述方程配方得(x-1)²+(y-2)²=100.

于是，圆的圆心坐标D为(1，2)，半径为10，如图所示.

【规律总结】 利用圆经过不在同一直线上的三点的条件，由待定系数法求出圆的一般式方程，并由此讨论圆的几何性质，这是解题的捷径.对于由一般式给出的圆的方程，研究其几何性质(圆心与半径等)时，可用配方法或公式法加以求解，如由公式可得.