Question

18、设a∈R，函数f（x）=（x²-ax-a）e^x．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在[-2，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出函数的导函数令x的值为0代入其中得到f'（0）=-2即切线方程的斜率为-2，而f（0）=-a，当a为1时f（0）=-1，即求曲线y=f（x）在点（0，-1）处的切线方程写出即可；
（Ⅱ）求出函数的导函数并令其为零求出函数的驻点，在[-2，2]内讨论函数的增减性求出函数的极值，判断大小求出函数的最小值即可．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=（2x-a）e^x+（x²-ax-a）e^x=（x+2）（x-a）e^x．
当a=1时，f'（0）=-2，f（0）=-1，
所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y-（-1）=-2x，
即2x+y+1=0．
（Ⅱ）令f'（x）=0，解得x=-2或x=a．
①a≥2，则当x∈（-2，2）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（-2，2）上单调递减，
所以，当x=2时，函数f（x）取得最小值，最小值为f（2）=（4-3a）e²．
②-2＜a＜2，则当x∈（-2，2）时，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

所以，当x=a时，函数f（x）取得最小值，最小值为f（a）=-a•e^a．
③a≤-2，则当x∈（-2，2）时，f'（x）＞0，函数f（x）在（-2，2）上单调递增，
所以，当x=-2时，函数f（x）取得最小值，最小值为f（-2）=（4+a）e^-2．
综上，当a≤-2时，f（x）的最小值为（4+a）e^-2；当-2＜a＜2时，f（x）的最小值为-a•e^a；
当a≥2时，f（x）的最小值为（4-3a）e²．

点评：考查学生利用导数求函数在闭区间上的最值的能力，以及利用导数研究曲线上某点的切线方程的能力．