Question

设集合M＝{a|a＝x²－y²，x、y∈Z}，求证：

(1)一切奇数属于M；

(2)4k－2(k∈Z)不属于M；

(3)M中任意两个数的乘积仍属于M．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)设奇数a＝2k－1，则a＝2k－1＝k2－(k－1)2，其中k、k－1∈Z． 　　所以一切奇数属于M． 　　(2)可利用反证法．假设4k－2∈M(k∈Z)，则存在x、y∈Z，使得4k－2＝x2－y2， 　　即2(2k－1)＝(x＋y)(x－y)，则(x＋y)与(x－y)中必有一个奇数、一个偶数． 　　但是(x＋y)与(x－y)有相同的奇偶性，得出矛盾． 　　所以4k－2(k∈Z)不属于M． 　　(3)设a＝x12－y12，b＝x22－y22(x1、x2、y？、y2∈Z)， 　　则ab＝(x22－y22)(x12－y12)＝(x12x22＋y12y22)－(x12y22＋y12x22)＝(x1x2－y1y2)2－(x1y2－y1x2)2，其中(x1x2－y1y2)，(x1y2－y1x2)∈Z，所以ab∈M．