Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c满足b²+c²-a²=bc，

AB

•

BC

＞0，a=

3

2

，则b²+c²的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：根据b²+c²-a²=bc，代入到余弦定理中求得cosA的值，进而求得A，再确定b=2RsinB=sinB，c=2RsinC=sinC，结合B的范围，代入利用辅助角公式，即可得出结论．

解答：解：∵b²+c²-a²=bc，
∴余弦定理可得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
∵A是三角形内角，
∴A=60°，sinA=

3

2

，
∵a=

3

2

，
∴2R=

a

sinA

=1，
∴b=2RsinB=sinB，c=2RsinC=sinC，
∵

AB

•

BC

＞0，
∴B是钝角，
∴90°＜B＜120°，
∴b²+c²=sin²B+sin²C=sin²B+sin²（120°-B）=

1-cos2B

2

+

1-cos(240°-2B)

2

=1+

1

2

sin(2B-30°)，
∵90°＜B＜120°，
∴150°＜2B-30°＜210°，
∴-

1

2

＜sin（2B+30°）＜

1

2

，
∴

3

4

＜1+

1

2

sin(2B-30°)＜

5

4

．
故答案为：(

3

4

，

5

4

)．

点评：本题主要考查了余弦定理的应用，考查三角函数的性质，考查计算能力，注意余弦定理的变形式的应用是关键．