Question

圆x²+y²=2的经过点P（

2

，2-

2

）的切线方程是（　　）

• A．x+y=2
• B．x+y=

  2

• C．x=

  2

  或x+y=2
• D．x=

  2

  或x+y=

  2

Answer 1

分析：由圆的方程，找出圆心A坐标和半径r，由P的坐标求出P到圆心的距离|AP|，与圆的半径比较大小得出P在圆外，分两种情况考虑：当过P的切线方程的斜率不存在时，显然切线方程为x=

2

；若过P的切线方程的斜率存在时，设切线方程的斜率为k，由P的坐标及k，表示出直线的方程，根据圆心到切线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出切线的方程，综上，得到所有满足题意的切线方程．

解答：解：由圆x²+y²=2，得到圆心A（0，0），半径r=

2

，
又P（

2

，2-

2

），
∴|AP|=

( 2 )2+(2- 2 )2

=2

2- 2

＞

2

=r，
∴P在圆A外，
若过P的切线方程的斜率不存在时，显然切线方程为x=

2

，
若过P的切线方程的斜率存在时，设切线方程的斜率为k，
可得切线方程为y-（2-

2

）=k（x-

2

），即kx-y+2-

2

k-

2

=0，
∴圆心A到切线的距离d=r，即|2-

2

k-

2

|=

2(1+k2)

，
两边平方得：（2-

2

k-

2

）²=2（1+k²），
解得：k=-1，
∴切线方程为-x-y+2=0，即x+y=2，
综上，过P的与圆相切的直线方程为x=

2

或x+y=2．
故选C

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，两点间的距离公式，点与圆的位置关系，点到直线的距离公式，直线的点斜式方程，利用了分类讨论的数学思想，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．