Question

设f(x)=4cos2x•cos(2x+

π

3

)-1．
（1）当x∈[-

π

48

，

π

4

]时，求f（x）的值域；
（2）把f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位后所得图象关于y轴对称，求m的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为2cos（4x+

π

3

），通过x的范围求出相位的范围，由此求得f（x）的值域．
（2）先求出平移后函数due解析式，根据图象关于直线x=0对称，故有-4m+

π

3

=kπ，k∈Z，由此求得正数m的最小值．

解答：解：（1）∵f（x）=4cos2x•（

1

2

cos2x-

3

2

sin2x）-1=2cos^₂2x-2

3

sin2x•cos2x-1
=cos4x-

3

sin4x=2cos（4x+

π

3

），（4分）
因为x∈[-

π

48

，

π

4

]
∴4x+

π

3

∈[

π

4

，

4π

3

]，
f（x）的最小值为-2，函数的最大值为：1．（6分）
∴f（x）的值域：[-2，1]．（7分）
（2）f（x）图象向右平移m个单位后所得图象对应的解析式为
y=2cos[4（x-m）+

π

3

]=2cos（4x-4m+

π

3

），（9分）
其为偶函数，那么图象关于直线x=0对称，故有：-4m+

π

3

=kπ，k∈Z
∴m=

π

12

-

kπ

4

所以正数m的最小值为

π

12

．（12分）．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换，属于中档题．