Question

如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形．

(1)若PD＝AD，E为PA的中点，求证：平面CDE⊥平面PAB；

(2)F是棱PC上的一点，CF＝CP，问线段AC上是否存在一点M，使得PA∥平面DFM．若存在，指出点M在AC边上的位置，并加以证明；若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥CD 　　又∵底面ABCD是矩形．∴CD⊥AD∴CD⊥平面PAD 　　又PA平面PAD；∴CD⊥PA　3分 　　∵PD＝AD，E为PA的中点，∴DE⊥PA　4分 　　CD∩DE＝D，∴PA⊥平面CDE，　5分 　　又PA平面PAB∴平面CDE⊥平面PAB．　6分 　　(2)在线段AC上存在点M，使得PA∥平面DFM，此时点M为靠近C点的一个四等分点，　7分 　　证明如下： 　　连接AC．BD．设AC∩BD＝O，PC的中点为G，连OG，则PA∥OG， 　　在ΔPAC中，∵CF＝CP，∴F为CG的中点．　9分 　　取OC的中点M，即CM＝CA，则MF∥OG，∴MF∥PA　11分 　　又PA平面DFM，MF平面DFM，∴PA∥平面DFM．　12分