Question

某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为13万元/辆,年销售量为5 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1),则出厂价相应提高的比例为0.7x,年销售量也相应增加.已知年利润=(每辆车的出厂价-每辆车的投入成本)×年销售量.

(1)若年销售量增加的比例为0.4x,为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例x应在什么范围内？

(2)年销售量关于x的函数为y=3 240(-x²+2x+),则当x为何值时,本年度的年利润最大？最大利润为多少？

Answer 1

解:(1)由题意得上年度的利润为(13-10)×5 000=15 000万元;

本年度每辆车的投入成本为10×(1+x);本年度每辆车的出厂价为13×(1+0.7x);

本年度年销售量为5 000×(1+0.4x),2分因此本年度的利润为

y=［13×(1+0.7x)-10×(1+x)］×5 000×(1+0.4x)

=(3-0.9x)×5 000×(1+0.4x)

=-1 800x²+1 500x+15 000(0＜x＜1),

由-1 800x²+1 500x+15 000＞15 000,解得0＜x＜,

∴当0＜x＜时,本年度的年利润比上年度有所增加.

(2)本年度的利润为

f(x)=(3-0.9x)×3 240×(-x²+2x+)=3 240×(0.9x³-4.8x²+4.5x+5).

则f′(x)=3 240×(2.7x²-9.6x+4.5)=972(9x-5)(x-3),

由f′(x)=0,解得x=或x=3,

当x∈(0,)时,f′(x)＞0,f(x)是增函数;

当x∈(,1)时,f′(x)＜0,f(x)是减函数.

∴当x=时,f(x)取极大值f()=20 000万元.

∵f(x)在(0,1)上只有一个极大值,∴它是最大值.

∴当x=时,本年度的年利润最大,最大利润为20 000万元.