Question

设函数f(x)=

x2-ax+a

ex

．
（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；
（2）讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（1）当a=0时，f（x）=

x2

ex

，f′（x）=

2x-x2

ex

，于是可求f′（1）=

1

e

，f（1）=

1

e

，从而可求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；
（2）由f（x）=

x2-ax+a

ex

，可求得f′（x）=-

(x-2)(x-a)

ex

，通过对a与2的大小关系的讨论，即可求得f（x）的单调区间．

解答：解：（1）当a=0时，f（x）=

x2

ex

，f′（x）=

2x-x2

ex

，
∴f′（1）=

1

e

，即切线的斜率k=

1

e

，又f（1）=

1

e

，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为：y-

1

e

=

1

e

（x-1），即y=

1

e

x．
（2）∵f（x）=

x2-ax+a

ex

，
∴f′（x）=

(2x-a)ex-(x2-ax+a)ex

e2x

=

-x2+(a+2)x-2a

ex

=-

(x-2)(x-a)

ex

．
若a＞2，由f′（x）＞0得，2＜x＜a；由f′（x）＜0得x＜2或x＞a，
即当a＞2时，f（x）的单调递增区间为（2，a），单调递减区间为（-∞，2），（a，+∞）；
同理可得，当a=2时，f′（x）≤0，f（x）在R上单调递减；
当a＜2时，f（x）的单调递增区间为（a，2），单调递减区间为（-∞，a），（2，+∞）；

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，在（2）中求得f′（x）=-

(x-2)(x-a)

ex

是关键，着重考查导数的应用与分类讨论思想，属于中档题．