Question

求函数f(x)=的定义域和单调区间.

Answer 1

思路分析：本题主要考查指数函数的定义域和单调性.使函数的解析式有意义的自变量取值范围是函数的定义域；函数f(x)是复合函数，分解为y=f(u),u=g(x)，通过讨论y=f(u)和u=g(x)的单调性，来讨论函数f(x)的单调性.

解：由题意，得函数f(x)的定义域为R.

令y=()^u，u=x²-2x，

∵u=x²-2x是二次函数，其对称轴为x=1且开口向上，

∴二次函数u=x²-2x在(-∞,1］上是减函数，在［1,+∞)上是增函数.

又∵y=()^u在定义域内是减函数,

∴函数f(x)=的单调递增区间是(-∞,1］,单调递减区间是［1,+∞).

绿色通道：关于指数函数的单调性问题，要注意其单调性与底数a的取值紧密相关.当a＞1时，函数y=a^x是增函数；当0＜a＜1时，y=a^x是减函数.此函数f(x)=是指数函数y=()^u与二次函数u=x²-2x复合而成的，可通过逐层讨论它的单调性，利用“同增异减”得出结果.