Question

22.已知函数f（x）=e^－x（cosx+sinx）,将满足f′（x）=0的所有正数x从小到大排成数列｛x_n｝.

（Ⅰ）证明数列｛f（x_n）｝为等比数列;

（Ⅱ）记S_n是数列｛x_nf（x_n）｝的前n项和,求.

Answer 1

22.本小题主要考查函数的导数,三角函数的性质,等差数列与等比数列的概念和性质,以及综合运用的能力.

（Ⅰ）证明：f′（x）=－e^－x（cosx+sinx）+e^－x（－sinx+cosx）=－2e^－xsinx,

由f′（x）=0,即－2e^－xsinx=0,

解得x=n,n为整数.从而x_n=n,n=1,2,3…

f（x_n）=（－1）ⁿ.

=－e^－π.

所以数列｛f（x_n）｝是公比q=－的等比数列,且首项f（x₁）=q.

（Ⅱ）解：S_n=x₁f（x₁）+x₂f（x₂）+…+x_nf（x_n）

=πq（1+2q+…+nq^n－1）,

qS_n=q（q+2q²+…+nqⁿ）,

S_n－qS_n=q（1+q+…+q^n－1－nqⁿ）

 =q（－nqⁿ）,

从而S_n=（－nqⁿ）.

=－（1+q+…+q^n－1）－（1+2q+…+nq^n－1）

=－－（－nqⁿ）

=－（1－qⁿ）+.

因为||=e^－x＜1,ⁿ=0，所以

==.