Question

已知P是直线3x＋4y＋8=0上的动点，PA、PB是圆的两条切线，A、B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为____________．

Answer 1

答案：略
解析：

将圆的一般方程配方化为标准方程，圆心C(1，1)，r=1．如图所示． 解法一：从运动观点看问题 当动点P沿直线3x＋4y＋8=0向左上方或向右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积越来越大，从而也越来越大；当P点从左上、右下两个方向向中间运动时，变小．显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP⊥直线时，应有惟一的最小值．此时， 从而， ∴． 解法二：利用等价转化的思想 设P点坐标为(x，y)，则，由勾股定理及|AC|=1，得 =，从而 ， 从而欲求的最小值，只须求|PA|的最小值，即定点C(1，1)与直线上动点P(x，y)的距离的平方的最小值，它也就是点C(1，1)到直线3x＋4y＋8=0距离的平方，这个最小值． ∴． 解法三：利用函数的思想 将法二中中的y以3x＋4y＋8=0中解出代入关于x的一元函数，进而用配方法求最值，也可得．

提示：

首先要化简圆的方程，弄清圆与直线的位置关系，然后可联想平面几何知识，数形结合来解决．或者考虑建立关于面积的目标函数来求最值． 本题涉及直线与圆相切，利用数形结合、运动变化，等价转化的思想以及配方法等有机的组合．