Question

（2011•韶关模拟）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=1，CC₁=2，点D、E分别是AA₁、CC₁的中点．
（1）求证：AE∥平面BC₁D；
（2）证明：平面BC₁D⊥平面BCD．

Answer 1

分析：（1）先证明AEC₁D是平行四边形．得到AE∥DC₁，然后证明AE∥平面BC₁D．
（2）通过证明BC⊥平面ACC₁A₁，证明BC⊥C₁D，然后证明C₁D⊥DC，DC∩BC=C，推出C₁D⊥平面BCD，然后证明平面BC₁D⊥平面BCD．

解答：（本小题14分）
（1）证明：在矩形ACC₁A₁中，
由C₁E∥AD，C₁E=AD
得AEC₁D是平行四边形．…（2分）
所以AE∥DC₁，…（4分）
又AE?平面BC₁D，C₁D?平面BC₁D，
所以AE∥平面BC₁D…（6分）
（2）证明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC⊥CC₁，AC⊥BC，CC₁∩AC=C，
所以BC⊥平面ACC₁A₁，…（8分）
而C₁D?平面ACC₁A₁，
所以BC⊥C₁D．…（9分）
在矩形ACC₁A₁中，DC=DC1=

2

，CC1=2，从而DC2+DC12=CC12，
所以C₁D⊥DC，…（10分）
又DC∩BC=C，
所以C₁D⊥平面BCD，…（12分）
而C₁D?平面BC₁D，
所以平面BC₁D⊥平面BCD…（14分）

点评：本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的证明方法，考查判定定理的应用，空间想象能力．