Question

如图所示，椭圆C₁、C₂与双曲线C₃、C₄的离心率分别是e₁、e₂与e₃、e₄，e₁、e₂、e₃、e₄的大小关系是（　　）

A．e₂＜e₁＜e₃＜e₄

B．e₂＜e₁＜e₄＜e₃

C．e₁＜e₂＜e₃＜e₄

D．e₁＜e₂＜e₄＜e₃

Answer 1

分析：由图可得椭圆C₁、C₂与双曲线C₃、C₄具有相同的a值，根据两个椭圆的短轴大小关系，算出e₁＞e₂；根据两个双曲线的张口大小关系，算出e₃＜e₄．最后根据双曲线的离心率都大于1，而椭圆的离心率都小于1，得出e₁、e₂、e₃、e₄的大小关系．

解答：解：对于椭圆C₁、C₂，它们有相同的a值，设它们的短轴分别为2b₁和2b₂，焦距分别为2c₁和2c₂，
∵b₁＜b₂，∴c₁=

a2-b12

＞

a2-b22

=c₂，
可得

c1

a

＞

c2

a

，即e₁＞e₂；
对于双曲线C₃、C₄，它们也有相同的a值，设它们的虚轴分别为2b₃和2b₄，焦距分别为2c₃和2c₄，
∵双曲线C₃的张口小于双曲线C₄的张口，
得双曲线C₃的渐近线所夹的锐角要小于双曲线C₄的渐近线所夹的锐角
∴

b3

a

＜

b4

a

，得b₃＜b₄，即

c32-a2

＜

c42-a2

由此可得c₃＜c₄，得

c3

a

＜

c4

a

，即e₃＜e₄．
∵e₁、e₂都小于1，e₃、e₄都大于1，
∴e₂＜e₁＜e₃＜e₄
故选：A

点评：本题给出具有公共a值的一组椭圆和双曲线，讨论它们离心率之间的大小关系，着重考查了椭圆、双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．