Question

如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，M是棱CC₁的中点，
(1)求异面直线A₁M和C₁D₁所成的角的正切值；
(2)证明：平面ABM⊥平面A₁B₁M。

Answer 1

(1)解：因为C₁D₁∥B₁A₁，所以∠MA₁B₁为异面直线A₁M与C₁D₁所成的角，
因为A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，所以∠A₁B₁M=90°，
而A₁B₁=1，B₁M=
故tan∠MA₁B₁=，
即异面直线A₁M和C₁D₁所成的角的正切值为。
(2)证明：由A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，BM平面BCC₁B₁，得A₁B₁⊥BM，　①
由(1)知，B₁M=，
又BM=，B₁B=2，所以，
从而BM⊥B₁M，　②
又A₁B₁∩B₁M=B₁，再由①②得BM⊥平面A₁B₁M，
而BM平面ABM，
因此平面ABM⊥平面A₁B₁M。