Question

已知向量

a

=（cosx，sinx），

b

=（

3

cosx，cosx），若f（x）=

a

•

b

-

3

2

．
（1）写出函数f（x）图象的一条对称轴方程；
（2）求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）根据向量的数量积的坐标运算公式，结合二倍角公式和辅助角公式化简整理得f（x）=sin（2x+

π

3

），再根据正弦函数图象对称轴方程的公式，即可得到函数f（x）图象的一条对称轴方程；
（2）由（1）得f（x）=sin（2x+

π

3

），而x∈[0，

π

2

]时2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，结合正弦函数的图象与性质得到函数的最大值为f（

π

12

）=1，最小值为f（

π

2

）=-

3

2

．由此即可得出函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的值域．

解答：解：（1）∵向量

a

=（cosx，sinx），

b

=（

3

cosx，cosx），
∴

a

•

b

=

3

cos²x+sinxcosx=

3

2

（1+cos2x）+

1

2

sin2x=sin（2x+

π

3

）+

3

2

由此可得f（x）=

a

•

b

-

3

2

=[sin（2x+

π

3

）+

3

2

]-

3

2

=sin（2x+

π

3

）
∵令2x+

π

3

=

π

2

+kπ（k∈Z），得x=

π

12

+

1

2

kπ（k∈Z）
∴取k=0，得函数y=sin（2x+

π

3

）图象的一条对称轴方程为x=

π

12

即函数y=f（x）图象的一条对称轴方程为x=

π

12

．
（2）由（1）得f（x）=sin（2x+

π

3

）
∵x∈[0，

π

2

]，得2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]
∴当2x+

π

3

=

π

2

时，即x=

π

12

时，f（x）有最大值为1；
当2x+

π

3

=

4π

3

时，即x=

π

2

时，f（x）有最小值为-

3

2

因此，可得函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的值域为[-

3

2

，1]．

点评：本题以向量数量积为载体，求函数的值域和图象的对称轴方程．着重考查了向量数量积坐标运算公式、三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．