Question

（2009•黄浦区二模）计算：2ⁿ-C_n¹2^n-1+C_n²2^n-2+…+（-1）^rC_n^r2^n-r+…+（-1）ⁿC_nⁿ（n∈N^*）=

1

．

Answer 1

分析：直接根据（a+b）ⁿ=C_n⁰aⁿ+C_n¹a^n-1b¹+C_n²a^n-2b²+…C_n^ra^n-rb^r…+C_nⁿbⁿ，令a=2，b=-1即为原题可得结论．

解答：解：∵（a+b）ⁿ=C_n⁰aⁿ+C_n¹a^n-1b¹+C_n²a^n-2b²+…C_n^ra^n-rb^r…+C_nⁿbⁿ．
令a=2，b=-1
得：2ⁿ-C_n¹2^n-1+C_n²2^n-2+…+（-1）^rC_n^r2^n-r+…+（-1）ⁿC_nⁿ=（2-1）ⁿ=1．
故答案为：1．

点评：本题主要考查二项式定理的应用．解决本题的关键在于观察出其为二项式的展开式，并得到a=2，b=-1．