Question

如图，已知正四棱柱，点在棱上，截面

∥，且面与底面所成的角为

Ⅰ.求截面的面积；

Ⅱ.求异面直线与AC之间的距离；

Ⅲ.求三棱锥的体积.

 

Answer 1

答案：
解析：

Ⅰ.如图，连结BD交AC于O，连结EO 因为底面ABCD是正方形， 所以DO⊥AC 又因为ED⊥底面AC， 因为EO⊥AC 所以∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角. 所以 故 II.由题设是正四棱柱，得⊥底面AC，⊥AC， 又⊥ 所以是异面直线与AC间的公垂线. 因为∥面EAC，且面与面EAC交线为EO 所以∥EO 又O是DB的中点， 所以E是的中点，=2EO =2 所以 异面直线与AC间的距离为 Ⅲ. 解法一：如图，连结 因为=DB= 所以是正方形， 连结交于P，交EO于Q 因为⊥，EO∥， 所以⊥EO 又AC⊥EO，AC⊥ED 所以AC⊥面， 所以⊥AC， 所以⊥面EAC. 所以是三棱锥的高. 由DQ=PQ，得 所以 所以三棱锥的体积是 解法二：连结，则 因为AO⊥面， 所以AO是三棱锥的高，AO 在正方形中，E、O分别是、DB的中 点（如图）， 则 ∴ 所以三棱锥的体积是