Question

如图，在四棱锥中，底面是矩形．已知，，，，．

（Ⅰ）证明平面；

（Ⅱ）求异面直线与所成的角的大小；

（Ⅲ）求二面角的大小．

Answer 1

（Ⅰ）证明：在中，由题设，，，可得，于是．在矩形中，，又，所以平面．

（Ⅱ）解：由题设，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角．

在中，由余弦定理得

．

由（Ⅰ）知平面，平面，

所以，因而，于是是直角三角形，

故．

所以异面直线与所成的角的大小为．

（Ⅲ）解：过点作于，过点作于，连结．

因为平面，平面，所以．又，因而平面，故为在平面内的射影．由三垂线定理可知，．从而是二面角的平面角．

由题设可得，

 

，，

于是在中，．

所以二面角的大小为．