Question

已知椭圆C:+=1(a＞b＞0).

(1)若点P(x₀,y₀)是椭圆C内部的一点，求证：+＜1;

(2)若椭圆C:+=1(a＞b＞0)上存在不同的两点关于直线l:y=x+1对称，试求a、b满足的关系式.

Answer 1

(1)证明：设F₁、F₂为椭圆C的左、右两个焦点.∵P是椭圆C内部的一点，

    ∴|F₁P|+|F₂P|＜2a.

    ∴+＜2a.

    ∴(a²-c²)x₀²+a²y₀²＜a²(a²-c²).

    ∴+＜1(b²=a²-c²).

(2)解：设椭圆C上关于直线l对称的点A、B的坐标为A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，线段AB的中点坐标为M(x_m,y_m),则有

   

    ②-①得b²(x₂²-x₁²)+a²(y₂²-y₁²)=0,

    b²(x₂-x₁)(x₂+x₁)+a²(y₂-y₁)(y₂+y₁)=0,

    b²x_m+a²y_m=0,

    把③代入上式得b²x_m-a²y_m=0,    ⑤

    由④和⑤得x_m=,y_m=,

    即M(,).

    ∵点M在椭圆C的内部，

    ∴+＜1.

    ∴a²+b²＜(b²-a²)²=(a+b)²(a-b)².

    a、b应满足的不等式为a²+b²＜(a+b)²(a-b)².