Question

已知函数f（x）=aln（x+1）+（x+1）²，其中，a为实常数且a≠0．
（Ⅰ）求f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）若对任意x∈（-1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）
因为f（x）的定义域为（-1，+∞），所以x+1＞0
当a＞0时，f′（x）＞0，此时f（x）的单调增区间为（-1，+∞）
当a＜0时，2（x+1）²＞-a，即时f′（x）＞0，
此时f（x）的单增区间为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＞0时，f（x）在（-1，+∞）单调增，而当x→0时，f（x）→-∞
所以此时f（x）无最小值，不合题意
当a＜0时，f（x）在上单调减，在上增，
所以恒成立，即
，得
分析：（I）利用导数研究函数的单调区间．先求函数的导数，再看当x取什么值时，导数大于0，当x取什么值时，导数小于0，从而得到函数的单调区间．
（II）因由（Ⅰ）知，当a＞0时，f（x）在（-1，+∞）单调增，而当x→0时，f（x）→-∞所以此时f（x）无最小值，不合题意，故只要考虑当a＜0时的情形即可，欲使得恒成立，只须小于等于f（x）的最小值即可，由此得不等式解之即可．
点评：本题主要考查了函数恒成立问题、函数的单调性及单调区间等知识．属于基础题．恒成立问题多需要转化，因为只有通过转化才能使恒成立问题得到简化；转化过程中往往包含着多种数学思想的综合运用．