Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1时，f（x）=x²．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是（ ）
A．0
B．0或
C．或
D．0或

Answer 1

【答案】分析：先作出函数f（x）在[0，2]上的图象，再分类讨论，通过数形结合与方程思想的应用即可解决问题．
解答：解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）=x²，
∴当-1≤x≤0时，0≤-x≤1，f（-x）=（-x）²=x²=f（x），
又f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为2的函数，
又直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，其图象如下：

当a=0时，直线y=x+a变为直线l₁，其方程为：y=x，显然，l₁与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点；
当a≠0时，直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，由图可知，直线y=x+a与函数y=f（x）相切，切点的横坐标x∈[0，1]．
由得：x²-x-a=0，由△=1+4a=0得a=-，此时，x=x=∈[0，1]．
综上所述，a=-或0
故选D．
点评：本题考查函数的周期性，函数的奇偶性与求方程的解，考查数形结合思想与方程思想的应用，属于中档题．