Question

（2012•江西模拟）已知函数f(x)=2

3

sin

x

3

cos

x

3

-2sin2

x

3

．
（Ⅰ）若x∈[0，π]，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若f（C）=1，且b²=ac，求sinA的值．

Answer 1

分析：由题意先对f(x)=2

3

sin

x

3

cos

x

3

-2sin2

x

3

进行化简变形得到f(x)=2sin(

2

3

x+

π

6

)-1
（I）x∈[0，π]，代入求得相位的取值范围，再由正弦函数的性质求得值域；
（II）由f（C）=1，及b²=ac，进行化简整理得出关于sinA的方程，再求出sinA的值．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=2

3

sin

x

3

cos

x

3

-2sin2

x

3

=

3

sin

2x

3

+cos

2x

3

-1=2sin(

2x

3

+

π

6

)-1．…（3分）
∵x∈[0，π]，
∴

π

6

≤

2x

3

+

π

6

≤

5π

6

．
∴

1

2

≤sin(

2x

3

+

π

6

)≤1．
∴f（x）的值域为[0，1]．…（4分）
（Ⅱ）∵f(C)=2sin(

2C

3

+

π

6

)-1=1．
∴sin(

2C

3

+

π

6

)=1．
而C∈（0，π），
∴C=

π

2

．…（2分）
在Rt△ABC中，∵b²=ac，c²=a²+b²，
∴c2=a2+ac⇒(

a

c

)2+

a

c

-1=0．
解得

a

c

=

-1± 5

2

．
∴0＜sinA＜1，
∴sinA=

a

c

=

5 -1

2

．…（3分）

点评：本题考查三角恒等变化与化简求值，解题的关键是熟练掌握三角恒等变换公式，对解析式进行化简，再由正弦函数的性质求值，本题考查了函数与方程的思想及运算变形的能力，是三角函数中有一定综合性的题．