Question

已知数列（1）求数列的通项公式； （2）证明：；   （3）设

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ) 见解析  （Ⅲ）见解析

解析:

(1)由,得

令,有  ∴

＝＝又b₁＝2a₁＝2,              

∴      ∴  4分

(2)证法1：(数学归纳法)

1°,当n＝1时,a₁＝1,满足不等式

2°,假设n＝k(k≥1,k∈N*)时结论成立

即,那么                            ＝          即

又由1°,2°可知,n∈N*,都有成立  9分

证法2：由⑴知：　　　∵,,∴

∵  ∵

∴  ∴

当n＝1时,,综上  9分

证法3：

∴为递减数列

当n＝1时,a_n取最大值　　∴a_n≤1 由(1)中知　  

综上可知  9分

(3)

欲证：即证    即ln(1＋T_n)－T_n＜0,构造函数f (x)＝ln(1＋x)－x

∵当x＞0时,f ' (x)＜0

∴函数y＝f (x)在(0,＋∞)内递减     

∴f (x)在[0,＋∞)内的最大值为f (0)＝0

∴当x≥0时,ln(1＋x)－x≤0    又∵T_n＞0,∴ln(1＋T_n)－T_n＜0

∴不等式成立..14分