Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E为PD中点．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D的大小；
（Ⅲ）若F为线段BC的中点，求点D到平面PAF的距离．

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：∵底面ABCD为正方形，
∴BC⊥AB，又BC⊥PB，
∴BC⊥平面PAB，
∴BC⊥PA．
同理CD⊥PA，
∴PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）解：设M为AD中点，连接EM，
又E为PD中点，
可得EM∥PA，从而EM⊥底面ABCD．
过M作AC的垂线MN，垂足为N，连接EN．
由三垂线定理有EN⊥AC，
∴∠ENM为二面角E-AC-D的平面角．
在Rt△EMN中，可求得EM=1，MN=，
∴tanENM=．
∴二面角E-AC-D的大小为arctan．
（Ⅲ）解：过D做AF的垂线DG，垂足为G，
∵PA⊥平面ABCD，
∴平面PAF⊥平面ABCD，
∴DG⊥平面PAF，
∴DG为点D到平面PAF的距离，
由F为BC中点，可得AF=．
又△ABF与△DGA相似，
可得，
∴DG=．
即点D到平面PAF的距离为．
分析：（I）由题意及正方形的特点，利用BC⊥AB，BC⊥PB得到BC⊥平面PAB，进而得到BC⊥PA，在利用CD⊥PA，得到线面垂直；
（II）由题意及图形，利用三垂线定理得到二面角的平面角，并在三角形中解出即可；
（III）由PA⊥平面ABCD，得到平面PAF⊥平面ABCD，进而得到DG⊥平面PAF，然后利用△ABF与△DGA相似，求出点D到平面PAF的距离．
点评：此题重点考查了线线垂直，线面垂直的判定与性质；还考查了利用三垂线定理求解出二面角的平面角一常用方法；还考查了利用反三角函数的知识表示角的大小；在计算第三问的距离是还考查了利用三角形的相似解出线段长度．