Question

a∈Z，求使

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

4n+1

＞2a-5对n∈N恒成立的a的最大值．

Answer 1

分析：先构造函数f（n）=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

4n+1

，求出f（n+1），利用f（n+1）-f（n）的符号确定f（n）的单调性，求出f（n）的最小值，建立不等关系解之即可，注意条件a∈Z．

解答：解：令f（n）=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

4n+1

则f（n+1）=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

4n+1

+

1

4n+2

+

1

4n+3

+

1

4n+4

+

1

4n+5

f（n+1）-f（n）=

1

4n+2

+

1

4n+3

+

1

4n+4

+

1

4n+5

-

1

n+1

＞0
∴f（n）是单调递增函数，故最小值为f（0）=1+

1

2

+

1

3

+

1

4

=

25

12

∴2a-5＜

25

12

解得a＜

85

24

故a的最大值为3

点评：本题主要考查了函数的单调性，以及不等式恒成立问题，属于中档题．