Question

（本题满分14分）已知函数.

（1）若，试确定函数的单调区间；

（2）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；

（3）设函数，求证：．

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

解：（1）由得，所以．

       由得，故的单调递增区间是，

       由得，故的单调递减区间是．……………4分

(2)由可知是偶函数．

       于是对任意成立等价于对任意成立．

       由得．  ……………………………………6分

       ①当时，．

       此时在上单调递增．  

故，符合题意． ……………………………………8分

       ②当时，．

       当变化时的变化情况如下表：

	单调递减	极小值	单调递增

由此可得，在上，．

依题意，，又．

综合①，②得，实数的取值范围是．………………………10分

【（方法二）由对任意成立等价于恒成立

当，恒成立，则，又，所以此时………6分

当，恒成立，则，令，则，……7分

易知为上偶函数，考察，，，

当时，，当时，，

所以当时，，所以……………………………9分

综上     …………………………………………………………10分】

(3)，

，

                   …………………………………………………………11分

，

              ……………………………………12分

由此得，                                                  ………………………………………13分

故．  …………………………14分