Question

一运动物体的位移s(单位:m)关于时间t(单位:s)的函数关系式为s(t)=t²+t.求s′(0),s′(2),s′(5),并说明它们的意义.

Answer 1

解:首先,给自变量t一个改变量Δt,得到相应函数值的改变量Δs=s(t+Δt)-s(t)

=(t+Δt)²+(t+Δt)-(t²+t)

=(Δt)²+2t·Δt+Δt,

再计算相应的平均变化率为

=Δt+2t+1.

当Δt趋于0时,可以得出导函数为

s′(t)=

=(Δt+2t+1)=2t+1.

因此,s′(0)=2×0+1=1,它表示物体的初速度为1 m/s;

s′(2)=2×2+1=5,它表示物体在第2秒时的瞬时速度为5 m/s;

s′(5)=2×5+1=11,它表示物体在第5秒时的瞬时速度为11 m/s.

点评:本题揭示了求一个函数导函数的方法与步骤,并且体现了f′(x)与f′(x₀)的关系,即?f′(x₀)?是导函数f′(x)在x=x₀时的函数值.