Question

在锐角△ABC中,已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且(tanA-tanB)=1+tanA·tanB.

(1)若a²-ab=c²-b²,求A、B、C的大小;

(2)已知向量m=(sinA,cosA),n=(cosB,sinB),求|3m-2n|的取值范围.

Answer 1

解：∵(tanA-tanB)=1+tanA·tanB,又△ABC为锐角三角形,

∴.∴tan(A-B)=.

∵0＜A＜,0＜B＜,∴-＜A-B＜.∴A-B=.

(1)∵a²-ab=c²-b²,∴cosC=.∴C=.

由解得A=,B=.∴A=,B=,C=.

(2)|3m-2n|²=9m²+4n²-12m·n=13-12(sinAcosB+cosAsinB)=13-12sin(A+B)=13-12sin(2B+).

∵△ABC为锐角三角形,A-B=,∴C=π-A-B＜,A=+B＜.∴＜B＜,＜2B+＜.∴sin(2B+)∈(,1).

∴|3m-2n|²∈(1,7).

∴|3m-2n|的取值范围是(1,).