Question

在△ABC中，A=30°，b=12，S_△ABC=18，则

sinA+sinB+sinC

a+b+c

的值为

1

12 5-2 3

．

Answer 1

分析：在△ABC中，由A=30°，b=12，S_△ABC=18，可求得c，再利用余弦定理a²=b²+c²-2bccosA可求得a，最后利用正弦定理可求得答案．

解答：解：在△ABC中，∵A=30°，b=12，S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×12c×

1

2

=18，
∴c=6；
∴余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=144+36-2×12×6×

3

2

=180-72

3

=36（5-2

3

），
∴a=6

5-2 3

．
∴

sinA

a

=

1 2

6 5-2 3

=

1

12 5-2 3

，
由正弦定理得：

sinA

a

=

sinB

b

=

sinC

c

=

sinA+sinB+sinC

a+b+c

，
∴

sinA+sinB+sinC

a+b+c

=

sinA

a

=

1

12 5-2 3

．
故答案为：

1

12 5-2 3

．

点评：本题考查余弦定理与正弦定理，求得

a

sinA

是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．