Question

已知椭圆E：

x2

4

+y2=1，椭圆E的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦点（如图），则这个平行四边形面积的最大值是

4

．

Answer 1

分析：设椭圆E的内接平行四边形为如图的四边形ABCD，根据椭圆方程算出两个焦点的坐标，从而设AB方程为y=k（x+

3

），与椭圆方程联解消去y得（1+4k²）x-8

3

k²x+4（3k²-1）=0，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），利用根与系数的关系与弦长公式算出|AB|=

4(1+k2)

1+4k2

．设CD方程为y=k（x-

3

），利用平行线的距离公式算出直线AB、CD的距离为d=

2 3 |k|

1+k2

，从而得到平行四边形ABCD的面积S=|AB|×d=8

3

•

k2(1+k2) (1+4k2)2

．最后采用换元法结合基本不等式求最值，即可求出当且仅当k=±

2

2

时，平行四边形ABCD的面积S取得最大值为4．

解答：解：根据椭圆E方程，可得焦点坐标分别为F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0）
设椭圆E的内接平行四边形为四边形ABCD，如图所示
直线AB方程为y=k（x+

3

），直线CD方程为y=k（x-

3

），
则由

x2 4 +y2=1 y=k(x+ 3 )

消去y，得（1+4k²）x-8

3

k²x+4（3k²-1）=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得

x1+x2= 8 3 k2 1+4k2 x1x2= 4(3k2-1) 1+4k2

由此可得|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x 1x2

=

4 1+k2

1+4k2

∴|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

4(1+k2)

1+4k2

由平行线之间的距离公式，得直线AB、CD的距离为d=

2 3 |k|

1+k2

因此，平行四边形ABCD的面积S=|AB|×d=8

3

•

k2(1+k2) (1+4k2)2

令t=

k2(1+k2)

(1+4k2)2

=

( 1 4 +k2)2

(1+4k2)2

+

1 2 k2- 1 16

(1+4k2)2

=

1

16

+

1 2 k2- 1 16

(1+4k2)2

再令

1

2

k2-

1

16

=s，显然当k²＞

1

8

时，s＞0，t=

1

16

+

1 2 k2- 1 16

(1+4k2)2

＞

1

16

，此时可取到最大值．
∵t=

1

16

+

s

64s2+24s+ 9 4

=

1

16

+

1

24+(64s + 9 4s )

≤

1

16

+

1

24+2 64s× 9 4s

=

1

12

∴平行四边形ABCD的面积S=8

3

•

t

≤8

3

×

1 12

=4，
当且仅当k=±

2

2

时，平行四边形ABCD的面积S取得最大值为4
故答案为：4

点评：本题给出椭圆的内接平行四边形，在已知两个焦点在平行四边形的对边上时，求平行四边形面积的最大值，着重考查了椭圆的简单几何性质、直线与圆锥曲线位置关系和利用基本不等式求最值等知识，属于中档题．