Question

已知函数（是自然对数的底数）.

（1）若曲线在处的切线也是抛物线的切线，求的值；

（2）若对于任意恒成立，试确定实数的取值范围；

（3）当时，是否存在，使曲线在点处的切线斜率与 在上的最小值相等？若存在，求符合条件的的个数；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（1），所以在处的切线为

即：                          ………………………………2分

与联立，消去得，

由知，或.        ………………………………4分

（2）

①当时，在上单调递增，且当时，，

，故不恒成立，所以不合题意 ；………………6分

②当时，对恒成立，所以符合题意；

③当时令，得， 当时，，

当时，，故在上是单调递减，在上是单调递增, 所以又，，

综上：.                 ………………………………10分

(3)当时，由（2）知，

设，则，

假设存在实数，使曲线在点处的切线斜率与在上的最小值相等，即为方程的解，………………………………13分

令得：，因为， 所以.

令，则 ，

当是，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，,故方程 有唯一解为1，

所以存在符合条件的，且仅有一个.                ……………………16分