Question

已知在公差d小于0的等差数列{a_n}中,S₉=S₁₇,问数列前多少项和最大?

Answer 1

解法一:记f(n)=S_n=a₁n+d,并设S₉=S₁₇=m.

因为二次方程f(n)－m=0有两个实根9和17,

所以f(n)－m=(n－9)(n－17),即f(n)=［(n－13)²－16］+m.

因为d<0,

所以当n=13时,f(n)有最大值,即S₁₃最大.

解法二:设f(n)=S_n=a₁n+d=dn²+(a₁－)n.

因为S₉=S₁₇,d<0,所以f(9)=f(17).所以抛物线y=f(x)的对称轴是x=13.

又因为其开口向下,所以当n=13时,f(n)有最大值,即数列{a_n}的前13项和最大.

解法三:因为S₉=S₁₇,

所以a₁₀+a₁₁+…+a₁₇=0.

又因为a₁₀+a₁₇=a₁₁+a₁₆=…=a₁₃+a₁₄,

所以a₁₃+a₁₄=0.

因为d<0,所以数列{a_n}单调递减,

于是a₁₃>0,a₁₄<0,从而S₁₃最大.

点评:解这类问题一般有两种思路:

(1)当公差d≠0时,等差数列的前n项和S_n是关于n的二次函数.一般地,当n取距离对称轴最近的正整数时,S_n最大(小).

(2)当公差d<0时,此数列是递减数列,如果数列中存在一项a_k,使得a₁,a₂,…,a_k都大于0,而a_k+1,a_k+2,…都小于0,那么S_k=a₁+a₂+…+a_k最大;若数列中存在一项a_k=0,而a₁,a₂,…,a_k－1都大于0,a_k+1,a_k+2,…都小于0,那么S_k－1与S_k相等,它们同时达到最大.

也就是说,当时,S_k最大.

当公差d>0时,可作类似的分析得到当时,S_k最小.