Question

如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝2EC．

(1)求证：BE∥平面PDA；

(2)若平面PBE与平面ABCD所成的二面角为45°，则线段PD是线段AD的几倍？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)证明：∵EC∥PD，PD?平面PDA，EC平面PDA 　　∴EC∥平面PDA， 　　同理可得BC∥平面PDA． 　　∵EC?平面EBC，BC?平面EBC且EC∩BC＝C． 　　∴平面BEC∥平面PDA． 　　又∵BE?平面EBC， 　　∴BE∥平面PDA．5分 　　(2)法一：延长PE与DC的延长线交于点G，连结GB， 　　则GB为平面PBE与ABCD的交线．7分 　　∵PD＝2EC，∴CD＝CG＝CB． 　　∴D、B、G在以C为圆心、以BC为半径的圆上， 　　∴DB⊥BG． 　　∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BG，且PD∩DB＝D， 　　∴BG⊥面PDB，∴BG⊥PB， 　　∴∠PBD为平面ABE与平面ABCD所成的二面角的平面角，即∠PBD＝45°，10分 　　∴PD＝DB＝AD，即＝． 　　∴当平面PBE与平面ABCD所成的二面角为45°时，线段PD是AD的倍．14分 　　法二：如图，以点D为坐标原点，以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系．设该简单组合体的底面边长为1，设PD＝a，则B(1，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，a)，E(0，1，)． 　　∴＝(1，1，－a)，＝(0，1，－) 　　设n＝(x，y，z)为平面PBE的一个法向量，则． 　　令z＝2，得y＝a，x＝a，即n＝(a，a，2)． 　　显然＝(0，0，a)为平面ABCD的法向量，9分 　　∴cos45°＝，解得a＝，即＝． 　　∴当平面PBE与平面ABCD所成的二面角为45°时，线段PD是AD的倍．