Question

已知函数f（log_ax）=（x-）（a＞0且a≠1）．
（1）求f（x）解析式并判断f（x）的奇偶性；
（2）对于（1）中的函数f（x），若?x₁，x₂∈R当x₁＜x₂时都有f（x₁）＜f（x₂）成立，求满足条件f（1-m）+f（m²-1）＜0的实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）令log_ax=t，则x=a^t，
∴
∴
因为
∴f（x）为奇函数
（2）因为?x₁，x₂∈R当x₁＜x₂时都有f（x₁）＜f（x₂）成立，
所以f（x）在R上单调递增
由f（1-m）+f（m²-1）＜0得f（m²-1）＜-f（1-m），
又f（x）为奇函数，
∴-f（1-m）=f（m-1），即f（m²-1）＜f（m-1），

由f（x）在R上单调递增得m²-1＜m-1，
即m²＜m 解得0＜m＜1
故实数m的取值范围为（0，1）
分析：（1）利用换元法求函数的解析式，利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性．
（2）利用函数的单调性解不等式．
点评：本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的应用，要求熟练掌握函数的相关性质及应用．