Question

15．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C₁的极坐标方程为ρ²（3+sin²θ）=12，曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$（t为参数），$α∈（{0，\frac{π}{2}}）$．
（1）求曲线C₁的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线；
（2）设曲线C₂与曲线C₁的交点为A，B，当$|{PA}|+|{PB}|=\frac{7}{2}$时，求cosα的值．

Answer 1

分析 （1）利用极坐标方程与直角坐标方程的转化方法可得结论；
（2）将$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1得t²（4-cos²α）+6tcosα-9=0，由直线参数方程的几何意义，结合$|{PA}|+|{PB}|=\frac{7}{2}$，求cosα的值．

解答 解：（1）由ρ²（3+sin²θ）=12得$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，该曲线为椭圆．
（2）将$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1得t²（4-cos²α）+6tcosα-9=0，
由直线参数方程的几何意义，设|PA|=|t₁|，|PB|=|t₂|，t₁+t₂=$\frac{-6cosα}{{4-{{cos}^2}α}}$，t₁t₂=$\frac{-9}{4-co{s}^{2}α}$，
所以|PA|+|PB|=|t₁-t₂|=$\frac{7}{2}$，从而cos²α=$\frac{4}{7}$，由于$α∈（{0，\frac{π}{2}}）$，所以 cosα=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查参数方程的运用，属于中档题．