Question

一个点（x，y）随机落在区域

x≥0 x≤3 y≥-1 y≤x

内，则其恰好落在区域y＞x²-2x内的概率为

3

5

．

Answer 1

分析：作出不等式组表示的平面区域，得到如图所示的直角梯形OACB．然后利用定积分公式算出梯形OACB内落在区域y＞x²-2x内的图形面积S和直角梯形OACB的面积S'，根据几何概型公式加以计算，可得所求概率．

解答：解：作出不等式组

x≥0 x≤3 y≥-1 y≤x

表示的平面区域，得到如图所示的直角梯形OACB．
其中A（0，-1），B（3，3），C（3，-1），O为坐标原点．
恰好落在区域y＞x²-2x内的图形为图中的阴影部分，
其面积为S=

∫

3 0

[x-（x²-2x）]dx=

∫

3 0

（3x-x²）dx=（

3

2

x²-

1

3

x³）

|

3 0

=

9

2

．
∵直角梯形OACB的面积为S'=

1

2

（OA+BC）•AC=

1

2

（1+4）×3=

15

2

．
∴所求概率为P=

S

S‘

=

9 2

15 2

=

3

5

．
故答案为：

3

5

点评：本题给出不等式组表示的平面区域，求满足条件的概率值．着重考查了积分计算公式、定积分的几何意义和几何概型公式等知识，属于中档题．