Question

函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件
①对任意的x∈R，有f（x）＞0；
②对任意的x，y∈R，有f（xy）=[f（x）]^y；
③f(

1

3

)＞1
（1）求f（0）的值；
（2）求证：f（1）＞1且f（x）=[f（1）]^x；
（3）若对于区间（-∞，1]上的每一个x值，不等式f（1+2^x+4^xm）＞1恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据题中等式f（xy）=[f（x）]^y，令x=y=0，化简即可得到f（0）=1；
（2）令1=3×

1

3

代入f（xy）=[f（x）]^y，得

f(1)=[f( 1 3 )]3

，由f(

1

3

)＞1结合指数函数的单调性得

[f( 1 3 )]3

＞

[f( 1 3 )]0

，即得f（1）＞1；
（3）由题意得f（x）=[f（1）]^x，在（-∞，+∞）上单调递增．结合f（0）=1化简不等式f（1+2^x+4^xm）＞1，得到1+2^x+4^xm＞0在（-∞，1]上恒成立，变量分离得到m＞-

1+2x

4x

，再换元：令（

1

2

）^x=t，利用二次函数的性质求出不等式右边对应函数的最大值，即可得出满足条件的m的取值范围．

解答：解（1）∵对任意的x、y∈R，有f（xy）=[f（x）]^y，
∴取x=y=0，得f（0）=[f（0）]⁰，
又∵f（x）＞0对任意的x∈R成立，∴f（0）=1；
（2）

f(1)=f(3× 1 3 )=[f( 1 3 )]3

，
∵f(

1

3

)＞1，∴由指数函数的单调性得

[f( 1 3 )]3

＞

[f( 1 3 )]0

=1，即f(1)＞1.
（3）∵f（x）=[f（1）]^x，f（1）＞1，∴f（x）在x∈R上单调递增．
∵f（0）=1，
∴不等式f（1+2^x+4^xm）＞1可化为f（1+2^x+4^xm）＞f（0），
可得1+2^x+4^xm＞0在（-∞，1]上恒成立，
解之得m＞-

1+2x

4x

=-（

1

2

）^2x-（

1

2

）^x在（-∞，1]上恒成立，
令（

1

2

）^x=t，由x≤1得t≥

1

2

，函数F（t）=-t²-t在[

1

2

，+∞）上为减函数，
∴F（t）_max=-

1

4

-

1

2

=-

3

4

，由此可得m＞-

3

4

．

点评：本题给出抽象函数，求特殊的函数值，讨论函数的单调性并依此解关于x的不等式恒成立的问题．着重考查了函数的单调性及其应用、基本初等函数的图象与性质和抽象函数具体化的处理等知识点，属于中档题．