Question

设向量

a

=(cosx，-

3

sinx)，

b

=(

3

sinx，-cosx)，函数f(x)=

a

•

b

-1，求f（x）的最大值、最小正周期和单调区间．

Answer 1

分析：由已知中向量

a

=(cosx， -

3

sinx)，

b

=(

3

sinx， -cosx)，我们可得函数f(x)=

a

•

b

-1的表达式，进而根据降幂公式（二倍角公式逆用）可将其化为正弦型函数的形式，结合正弦型函数的性质得到f（x）的最大值、最小正周期和单调区间．

解答：解：∵向量

a

=(cosx， -

3

sinx)，

b

=(

3

sinx， -cosx)，
∴f(x)=2

3

sinxcosx-1=

3

sin2x-1，
∴当2x=

π

2

+2kπ，k∈Z时，f（x）的最大值是

3

-1，
函数的最小正周期T=

2π

ω

=

2π

2

=π，
由-

π

2

+2kπ≤2x≤

π

2

+2kπ，可得单调递增区间是[-

π

4

+kπ， 

π

4

+kπ]（k∈Z），
由

π

2

+2kπ≤2x≤

3π

2

+2kπ，可得单调递减区间是[

π

4

+kπ， 

3π

4

+kπ]（k∈Z）；

点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积，三角函数的最值，周期及单调性，其中根据已知和向量数量积运算法则求出函数的解析式是解答本题的关键．