Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n,满足2S_n-a_n=n²(n∈N^*).在正项数列{b_n}中,b₁=1,nb_n+1²-(n+2)b_nb_n+1-2(n+1)b_n²=0(n∈N^*).

(1)求数列{a_n}及{b_n}的通项公式;

(2)设c_n=(n∈N^*),T_n为数列{c_n}的前n项和.若T_n+＜a恒成立,求实数a的取值范围.

Answer 1

解:(1)由题意2S_n-a_n=n²,当n=1时,2a₁-a₁=1,a₁=1.当n=2时,2a₁+2a₂-a₂=4,即a₂=2.

n≥2时,2S_n-1-a_n-1=(n-1)².两式作差,得2a_n-a_n+a_n-1=2n-1,即a_n-a_n-1=2n-1.又a_n+1-a_n=2n+1,故a_n+1-a_n-1=2(n≥2).

∴数列{a_2m-1}、{a_2m}分别为a₁=1,a₂=2为首项,2为公差的等差数列.

a_2m-1=1+(m-1)·2=2m-1,a_2m=2+(m-1)·2=2m,即a_n=n,n∈N^*.

由nb_n+1²-(n+2)b_nb_n+1-2(n+1)b_n²=0,得［nb_n+1-2(n+1)b_n］(b_n+1+b_n)=0.

又b_n+1+b_n≠0,∴=2(),n∈N^*.

因此,b_n=··…··b₁=2^n-1(··…·)=n2^n-1.

(2)由(1)可知,c_n===.

T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=1++++…+,

T_n=++++…++.

于是,T_n=1+++…+=(1),

即T_n=4.

若T_n+＜a恒成立,即4＜a.

令h(n)=4,n∈N^*,只需h(n)_max＜a.

注意到h(n+1)-h(n)=4-(4)=＞0,

即h(n)＜h(n+1)对n∈N^*恒成立,

∵h(n)=(4)=4,

∴a≥4.