Question

与圆C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直线与x轴，y轴的正半轴交于A、B且|oA|＞2，|OB|＞2，则三角形AOB面积的最小值为 ______．

Answer 1

将圆C的方程化为标准式方程得（x-1）²+（y-1）²=1，圆心C（1，1），半径r=1
设A（a，0），B（0，b），则直线AB的方程为

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0，
圆心C（1，1）到直线AB的距离d=r=1即

|b+a-ab|

a2+b2

=1，两边平方得2ab-2ab（b+a）+a²b²=a²+b²，
∵ab≠0，∴2-2（b+a）+ab=0，∴（a-2）-b-2a+4=2，∴（a-2）（b-2）=2；
由|oA|＞2，|OB|＞2，可设a-2=m＞0，b-2=n＞0，且mn=2，
所以S_△AOB=

1

2

ab=

1

2

（m+2）（n+2）=

1

2

（mn+2m+2n+4）≥

1

2

（mn+2

4mn

+4）=3+2

2

，当且仅当m=n即a=b时取等号．
所以三角形AOB面积的最小值为3+2

2

故答案为：3+2

2