Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长都是2，M是BC的中点，P是侧棱BB₁上一点，且A₁P⊥B₁M。
（Ⅰ）试求A₁P与平面APC所成角的正弦；
（Ⅱ）求点A₁到平面APC的距离。

Answer 1

解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，
则相关各点的坐标为A₁（2，0，0），B₁（1，，），
P（1，，z），M，C(0，0，2)，A（2，0，2），由A₁P⊥B₁M知=0 ，
∴（-1，，z）·即点P的坐标为P（1，，），
设平面APC的法向量为n=（x，y，z），
由
取z= -1，则有n=（0，-，-1），方向指向平面APC的左下方，

设直线A₁P与平面APC所成角为α，则sinα=；
（2），设A₁到平面PAC的距离为d，则