Question

17. 已知正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁，AB＝1，AA₁＝2，点E为CC₁中点，点F为BD₁中点.

（1）证明EF为BD₁与CC₁的公垂线；

（2）求点D₁到面BDE的距离.

Answer 1

17.

　　（Ⅰ）证明：取BD中点M，连结MC、FM，

　　∵F为BD₁中点，

∴FM∥D₁D且FM＝D₁D.

又EC＝CC₁且EC⊥MC，

∴四边形EFMC是矩形，

∴EF⊥CC₁.

又CM⊥面DBD₁，

∴EF⊥面DBD₁，

∵BD₁面DBD₁，

∴EF⊥BD₁.

故EF为BD₁与CC₁的公垂线.

 

（Ⅱ）解：连结ED₁，有

由（Ⅰ）知EF⊥面DBD₁，

设点D₁到面BDE的距离为d，

则S_△DBE·d=·EF.

∵AA₁=2，AB=1，

∴BD=BE=ED=，EF=.

∴=··2=，

S_△DBE=··（）²=.

∴d==.

故点D₁到平面BDE的距离为.