Question

12．己知向量|$\overrightarrow{AB}$|=2，|$\overrightarrow{CD}$|=1，且|$\overrightarrow{AB}$-2$\overrightarrow{CD}$|=2$\sqrt{3}$丨，则向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{CD}$的夹角为120°．

Answer 1

分析 根据条件，对$|\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{CD}|=2\sqrt{3}$两边平方即可求出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}$的值，从而可求出$cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{CD}＞$的值，进而得出向量$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{CD}$的夹角．

解答 解：据条件：
$（\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{CD}）^{2}$
=${\overrightarrow{AB}}^{2}-4\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}+4{\overrightarrow{CD}}^{2}$
=$4-4\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}+4$
=12；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}=-1$；
∴$cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{CD}＞=\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{CD}|}=-\frac{1}{2}$；
∴向量$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{CD}$的夹角为120°．
故答案为：120°．

点评 考查向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的余弦公式，以及向量夹角的范围．