Question

如图，已知△AOB，∠AOB=，∠BAO=，AB=4，D为线段AB的中点，若△AOC是△AOB 绕直线AO旋转而成的，记二面角B-AO-C的大小为θ。

（1）当平面COD⊥平面AOB时，求θ的值；
（2）当时，求二面角C-OD-B的余弦值的取值范围。

Answer 1

解：（1）在平面AOB内过B作OD的垂线，垂足为E，如图 因为平面AOB⊥平面COD，平面AOB∩平面COD=OD， 所以BE⊥平面COD， 故BE⊥CO 又因为OC⊥AO， 所以OC⊥平面AOB， 故OC⊥OB 又因为OB⊥OA，OC⊥OA， 所以二面角B-AO-C的平面角为∠COB， 故。 （2）当时，二面角C-OD-B的余弦值为0； 当时，过C作OB的垂线，垂足为F， 过F作OD的垂线，垂足为G，连接CG， 则∠CGF的补角为二面角C-OD-B的平面角， 在Rt△OCF中，CF=2sinθ，OF=-2cosθ， 在Rt△CGF中， 所以 因为， 故 所以二面角C-OD-B的余弦值的取值范围为。