Question

如图，将一副三角板拼接，使它们有公共边BC，且使两个三角形所在的平面互相垂直，若∠BAC＝90°，AB＝AC，∠CBD＝90°，∠BDC＝60°，BC＝6．

(1)求证：平面ABD⊥平面ACD；

(2)求二面角A－CD－B的平面角的正切值；

(3)设过直线AD且与BC平行的平面为a，求点B到平面a的距离．

Answer 1

答案：
解析：

(1)平面BCD⊥平面ABC，BD⊥BC，平面BCD∩平面ABC＝BC， 　　∴BD⊥平面ABC，∵AC平面ABC，∴AC⊥BD， 　　又AC⊥AB，BD∩AB＝B，∴AC⊥平面ABD， 　　又AC平面ACD，∴平面ABD⊥平面ACD(4分) 　　(2)设BC中点为E，连AE，过E作EF⊥CD于F，连AF． 　　由三垂线定理得∠EFA为二面角的平面角． 　　由△EFC∽△DBC可求得EF＝1.5， 　　又AE＝3，所以tan∠EFA＝2，即二面角的平面角的正切值为2(8分) 　　(3)过点D作DG∥BC，且CB＝DG，连AG．设平面ADG为平面． 　　∵BC∥平面ADG，所以B到平面ADG的距离与C到平面ADG的距离，设为h， 　　∵VC－ADG＝VA－CBD， 　　， 　　∴h＝(12分)