Question

8．设f（x）=$\frac{1-x}{1+x}$，记f₁（x）=f（x），若f_k+1（x）=f（f_k（x）），k∈N^*，则f₂₀₁₆（x）=$\frac{1-x}{1+x}$．

Answer 1

分析 由已知分别求出f₁（x），f₂（x），f₃（x），f₄（x），归纳出规律：f_k（x）以周期T=3的周期数列，由此能求出f₂₀₁₆（x）．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1-x}{1+x}$，记f₁（x）=f（x），若f_k+1（x）=f（f_k（x）），k∈N^*，
∴f₁（x）=f（x）=$\frac{1-x}{1+x}$，
${f}_{2}（x）=f（\frac{1-x}{1+x}）$=$\frac{1-\frac{1-x}{1+x}}{1+\frac{1-x}{1+x}}$=x，
f₃（x）=f（x）=$\frac{1-x}{1+x}$，
f₄（x）=f（x）=$\frac{1-x}{1+x}$，
…
归纳出规律：f_k（x）以周期T=3的周期数列，
∴f₂₀₁₆（x）=f₃（x）=$\frac{1-x}{1+x}$．
故答案为：$\frac{1-x}{1+x}$．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．