Question

在正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，底面边长为，侧棱长为，E、F分别是AB₁、CB₁的中点，求证：平面D₁EF⊥平面AB₁C．

Answer 1

答案：
解析：

证明：把正四棱柱如下图放置在坐标系中，则各点坐标为A(，0，0)，C(0，，0)，B1(，，)，D1(0，0，)，E(2，，)，F(，2，)．假设平面AB1C的法向量为n1＝(1，λ1，μ1)，则n1应垂直于和．而＝(，，0)，＝(0，，)， 　　∴n1·＝＝0及n1·＝λ1＋μ1＝0． 　　∴λ1＝1，μ1＝－． 　　∴n1＝(1，1，－)． 　　再假设平面D1EF的法向量为n2＝(1，λ2，μ2)，则n2应垂直于、，而＝(2，，－)，＝(，，－)， 　　∴n2·＝＋λ2－μ2＝0， 　　n2·＝＋λ2－μ2＝0． 　　∴λ2＝1，μ2＝． 　　∴n2＝(1，1，)． 　　由于n1·n2＝1＋1－·＝1＋1－2＝0， 　　∴n1⊥n2．因此平面D1EF⊥平面AB1C．