Question

（2012•武汉模拟）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos²A=2a．
（1）求

b

a

；
（2）求A的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化简已知的等式，整理后利用同角三角函数间的基本关系化简，得到sinB=2sinA，再利用正弦定理化简，即可得到所求式子的值；
（2）由余弦定理表示出cosA，将第一问得到的b=2a代入，整理后利用基本不等式求出cosA的范围，再由A为三角形的内角，且根据余弦函数的单调性，即可得到A的范围．

解答：解：（1）由正弦定理化简已知的等式得：sin²AsinB+sinBcos²A=2sinA，
即sinB（sin²A+cos²A）=2sinA，
∴sinB=2sinA，
再由正弦定理得：b=2a，
则

b

a

=2；
（2）由（1）得：b=2a，
由余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

4a2+c2-a2

4ac

=

3a2+c2

4ac

≥

2 3 ac

4ac

=

3

2

，
∵A为三角形ABC的内角，且y=cosx在（0，π）上是减函数，
∴0＜A≤

π

6

，
则A的取值范围是（0，

π

6

]．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，基本不等式，以及余弦函数的单调性，熟练掌握定理是解本题的关键．