(1)若动点P到定点F(22.0)的距离与到定直线l:x=924的距离之比为223.求证:动点P的轨迹是椭圆,中椭圆短轴的上顶点为A.试找出一个以点A为直角顶点的等腰直角△ABC.并使得B.C两点也在椭圆上.并求出△ABC的面积,(3)对于椭圆x2a2+y2=1.设椭圆短轴的上顶点为A.试问:以点A为直角顶点.且B.C两点也在椭圆上的等腰直角△ABC有几� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

（1）若动点P到定点F(2

，0)的距离与到定直线l：x=

的距离之比为

，求证：动点P的轨迹是椭圆；
（2）设（1）中椭圆短轴的上顶点为A，试找出一个以点A为直角顶点的等腰直角△ABC，并使得B、C两点也在椭圆上，并求出△ABC的面积；
（3）对于椭圆

+y2=1（常数a＞1），设椭圆短轴的上顶点为A，试问：以点A为直角顶点，且B、C两点也在椭圆上的等腰直角△ABC有几个？说明理由．

分析：（1）假设动点P坐标，利用条件，建立等式，化简可判断动点P的轨迹；
（2）根据条件可知，AB，AC应是关于y轴对称，将直线方程与椭圆方程联立，从而可求AC长，故可求面积；
（3）与（2）同法，将直线方程与椭圆方程联立，求AB，AC的长，利用|AB|=|AC|可判断．

解答：解：（1）由题意，设动点P（x，y），则

(x-2

)2+y2

|x-

，化简得

+y2=1，
∴动点P的轨迹是椭圆（4分）
（2）A（0，1），设AB：y=x+1，AC：y=-x+1，则△ABC是等腰直角三角形
由

y=x+1

+y2=1

得，5x²+9x=0∴|AC|=

1+1

|xC-xA|=

∴S△ABC=

|AC|2=

---------（10分）
（3）不妨设l_AB：y=kx+1（k＞0），lAC：y=-

x+1
由

y=kx+1

+y2=1

得，（1+a²k²）x²+2ka²x=0∴|AB|=

1+k2

|xA-xB|=

1+k2

•

2ka2

1+a2k2

同理可得|AC|=

•

2a2

1+k2

•

2a2

k2+a2

由|AB|=|AC|得，k³-a²k²+a²k-1=0即（k-1）[k²+（1-a²）k+1]=0∴k=1或k²+（1-a²）k+1=0
所以当a＞

时，存在三个等腰直角三角形；
当1＜a≤

时，存在一个等腰直角三角形．-------------------------------------（16分）

点评：本题主要考查轨迹与轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题．

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